Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=x（x-2）．
（Ⅰ）在給定坐標系下畫出函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)圖象的作法,函數(shù)解析式的求解及常用方法,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由當x≥0時，f（x）=x（x-2）．函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，可得函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合圖象上升對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，可得答案；
（Ⅱ）當x＜0時，-x＞0，代入結(jié)合f（x）=-f（-x）得到函數(shù)f（x）的解析式．

解答：解：（Ⅰ）∵當x≥0時，f（x）=x（x-2）．函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
故函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1]和[1，+∞），
（Ⅱ）當x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=-x（-x-2）=x²+2x．
又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-x²-2x
∴f（x）=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

點評：本題考查的知識點是函數(shù)圖象的作法，函數(shù)解析式的求法，奇函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．