Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=mx²-mx-6+m．
（1）若對于m∈[-2，2]．f（x）＜0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若對于x∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，f（x）=g（m）=m（x²-x+1）-6為是關(guān)于m的一次函數(shù)．因此滿足對m∈[-2，2]，使f（x）＜0恒成立的x滿足不等式g（-2）＜0且g（-2）＜0，由此解關(guān)于x的不等式組，即可得到實數(shù)x的取值范圍．
（2）由題意將不等式整理，得m（x²-x+1）＜6，結(jié)合x²-x+1在[1，3]上的取值為正數(shù)，將原不等式等價變形為m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$．求出$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值為$\frac{6}{7}$，即可算出滿足條件的m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，f（x）=g（m）=m（x²-x+1）-6，
則g（m）是關(guān)于m的一次函數(shù)．
因此若對于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）=-2（{x}^{2}-x+1）-6＜0}\\{g（2）=2（{x}^{2}-x+1）-6＜0}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{x∈R}\\{-1＜x＜2}\end{array}\right.$，
解之得-1＜x＜2，
即實數(shù)x的取值范圍為（-1，2）；
（2）f（x）＜0即mx²-mx-6+m＜0，可得m（x²-x+1）＜6．
∵當x∈[1，3]時，x²-x+1∈[1，7]，
∴不等式f（x）＜0等價于m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$．
∵當x=3時，$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值為$\frac{6}{7}$，
∴若要不等式m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$恒成立，
則必須m＜$\frac{6}{7}$，
因此，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，$\frac{6}{7}$）．

點評 本題給出兩個不等式恒成立的問題，求參數(shù)的取值范圍．著重考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和不等式的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．