Question

12．若函數(shù)f（x）滿足$\frac{f'（x）-f（x）}{e^x}$=2x，f（0）=1，則當x＞0時，$\frac{{f'{{（x）}^{\;}}}}{f（x）}$的取值范圍是（1，2]．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合條件求出函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合分式函數(shù)的性質(zhì)利用基本不等式法進行求解即可．

解答 解：設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則h′（x）=$\frac{f'（x）-f（x）}{e^x}$=2x，
即h（x）=x²+c，
即f（0）=1，
∴h（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1=0+c，則c=1，
則h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=x²+1，
則f（x）=e^x（x²+1），
則f′（x）=e^x（x²+1）+e^x（2x）=e^x（x²+2x+1），
則$\frac{{f'{{（x）}^{\;}}}}{f（x）}$=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}+2x+1）}{{e}^{x}（{x}^{2}+1）}$=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$
當x＞0時，x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，
則0＜$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{2}$，
則0＜$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1，
則1＜1+$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤2，
即$\frac{{f'{{（x）}^{\;}}}}{f（x）}$的取值范圍是（1，2]，
故答案為：（1，2]．

點評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，根據(jù)條件利用構(gòu)造法求出函數(shù)的解析式，結(jié)合分式函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．