Question

非空數(shù)集A滿足條件：若a∈A，a≠1，則

1

1-a

∈A．
①若2∈A，則在A中還有兩個(gè)元素是什么？
②求證：集合A中至少有三個(gè)元素．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：①根據(jù)題意，可得若2∈A，則在A中還有兩個(gè)元素是：

1

1-2

=-1，

1

1-(-1)

=

1

2

，據(jù)此解答即可；
②用反證法，假設(shè)集合A中有一個(gè)或兩個(gè)元素，證明其不成立，即可推得A中至少有三個(gè)元素．

解答： 解：①因?yàn)閍∈A，a≠1，則

1

1-a

∈A，
所以2∈A，則在A中還有兩個(gè)元素是：

1

1-2

=-1，

1

1-(-1)

=

1

2

，
即A中還有兩個(gè)元素是：-1、

1

2

；
②由

1

1-a

∈A，有

1

1- 1 1-a

∈A，即1-

1

a

∈A，
（1）若A中只有一個(gè)元素，
則a=

1

1-a

，
即a²-a+1=0，無(wú)解；
（2）若A中有兩個(gè)元素，
由（1）知，a≠

1

1-a

，
則a=1-

1

a

，或

1

1- 1 1-a

=

1

1-a

，
易得兩方程均無(wú)解；
所以集合A中至少有三個(gè)元素．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了元素與集合關(guān)系的判斷，以及反證法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．