Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+3x+b（a＜0，a、b∈R）．設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=0的兩個實根分別為α、β
（1）若|α-β|=1，求a、b的關(guān)系式；
（2）若a、b均為負整數(shù)，且|α-β|=1，求f（x）的解析式；
（3）在（2）的條件下，若方程f（x）=（2m+2）x+2m+4至少有一個正根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合條件|α-β|=1，即可求a、b的關(guān)系式；
（2）根據(jù)a、b均為負整數(shù)，且|α-β|=1，解方程組即可求f（x）的解析式；
（3）根據(jù)一元二次方程函數(shù)根的分布，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意可得α、β是ax²+3x+b=0 的兩個根，
∴

△=9-4ab＞0 α+β=- 3 a αβ= b a

，
∵|α-β|=1，∴|α-β|²=|α+β|²-4αβ=1，
即a²+4ab=9，（a＜0）．
（2）由（1）知a（a+4b）=9且a，b均為負整數(shù)，
故

a=-1 a+4b=-9

或

a+4b=-1 a=-9

（舍）或

a=-3 a+4b=-3

（舍），
解得a=-1，b=-2，
∴f（x）=-x²+4x-2．
（3）方程f（x）=（2m+2）x+2m+4，
即x²+（2m-2）x+2m+6=0，
方程至少有一個正根，有三種可能：
①有兩個正根，此時可得

△≥0 f(0)＞0 2(m-1) -2 ＞0

，即

m≤-1或m≥5 m＞-3 m＜1

，
∴-3＜m≤-1，
②有一個正根，一個負根，此時可得f（0）＜0，得m＜-3，
③有一個正根，另一根為零，此時可得

6+2m=0 2(m-1)＜0

，
即

m=-3 m＜1

，
綜合上述三種情況的m≤-1．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．