Question

（08年龍巖一中模擬理）（12分）

如圖，在直三棱柱中，，    

，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證：；                   

（2）求點(diǎn)到的距離；         

（3）求二面角的大小.

 

Answer 1

解析：（1）證明：

連結(jié)，設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié).

 是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，

           …………2分

     …………3分

（2）解：設(shè)點(diǎn)到的距離為

在三棱錐中，      ，  且

.         …………5分

易求得

即點(diǎn)到的距離是    …………8分

（3）解：在平面內(nèi)作于點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)

易證明  ，  從而是在平面內(nèi)的射影，

根據(jù)三垂線(xiàn)定理得

是二面角的平面角.          …………10分

易求得，

在中，

 二面角的大小是      …………12分

解法二：

 在直三棱柱中，，，

兩兩垂直 .

如圖，以為原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸，

軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則

（1）證明：

設(shè)與的交點(diǎn)為，則

…2分

                4分

（2）解：

設(shè)點(diǎn)到的距離為

在三棱錐中，      ，  且

.     易求得

即點(diǎn)到的距離是                8分

（3）解：在平面內(nèi)作于點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)

易證明  ，  從而是在平面內(nèi)的射影，

根據(jù)三垂線(xiàn)定理得

是二面角的平面角.             10分

易知

 二面角的大小是            12分