Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax^{2}+1}{bx+c}$（a，b，c∈N）是奇函數(shù)，f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義法證明；
（3）若f（x）-k＞0，對(duì)任意的x∈[5，8）時(shí)恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）為奇函數(shù)，直接利用奇函數(shù)定義以及a，b，c∈N求解即可；
（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性定義證明即可；
（3）f（x）-k=x+$\frac{1}{x}$-k＞0對(duì)任意的x∈[5，8）時(shí)恒成立即對(duì)任意的x∈[5，8）時(shí)f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞k恒成立；

解答 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$+$\frac{a{x}^{2}+1}{-bx+c}$=0；
得-bx+c=-bx-c⇒c=0；
又f（1）=$\frac{1+a}$=2，化為2b=a+1；
∵f（2）=$\frac{4a+1}{2b}$＜3，
∴$\frac{4a+1}{a+1}$＜3?（a+1）（a-2）＜0，計(jì)算得出-1＜a＜2
∵a∈N，∴a=0或1；
當(dāng)a=0時(shí)，b=$\frac{1}{2}$，與b∈N矛盾，舍去；
當(dāng)a=1時(shí)，b=1；
綜上，a=b=1；
（2）f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂；
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x₁-{x₂ x₂＜0，x₁x₂＞1；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
所以，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
（3）f（x）-k=x+$\frac{1}{x}$-k＞0對(duì)任意的x∈[5，8）時(shí)恒成立
即對(duì)任意的x∈[5，8）時(shí)f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞k恒成立；
令f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故f（x）在[5，8）上最小值為f（5）=$\frac{26}{5}$；
所以k的取值范圍為：（$\frac{26}{5}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)奇偶性、函數(shù)單調(diào)性定義證明以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬中等題．