Question

16．已知函數(shù)f（x）=（x-a）²e^x，g（x）=x³-x²-3，其中a∈R．
（1）若存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求實(shí)數(shù)M的最大值；
（2）若對(duì)任意的s，t∈[0，2]，都有f（s）≥g（t），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知要使不等式g（x₁）-g（x₂）≥M成立，需要M比左邊的最小值即可，要求g（x₁）-g（x₂）的最小值，只需求g（x）在[0，2]上的最小值與最大值然后作差．
（2）由題意知，應(yīng)求g（t）的最大值，f（s）的最小值，在求f（s）的最小值時(shí)，令f'（x）=e^x（x-a）（x-a+2）=0得x=a，或x=a-2，根據(jù)a，a-2與區(qū)間[0，2]的關(guān)系分情況討論．

解答 解：（1）$g'（x）=3x（x-\frac{2}{3}）$，x∈[0，2]．令g'（x）=0，得x₁=0，${x_2}=\frac{2}{3}$．
當(dāng)$x∈[0，\frac{2}{3}）$時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)$x∈[\frac{2}{3}，2]$時(shí)，g'（x）＞0，
所以[g（x）]_max=max{g（0），g（2）}=g（2）=1，${[g（x）]_{min}}=g（\frac{2}{3}）=-\frac{85}{27}$．
因?yàn)榇嬖趚₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立．
所以$M≤{[g（x）]_{max}}-{[g（x）]_{min}}=\frac{112}{27}$．所以實(shí)數(shù)M的最大值為$\frac{112}{27}$．
（2）由（1）知，在[0，2]上，[g（x）]_max=g（2）=1，
所以f（x）_min≥1．f'（x）=e^x（x-a）（x-a+2）．
（�。┊�(dāng)a≤0或a≥4時(shí)，在[0，2]上，f'（x）≥0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)．
所以$f{（x）_{min}}=f（0）={a^2}≥1$，解得a≤-1或a≥1．所以a≤-1或a≥4．
（ⅱ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，在[0，a]上，f'（x）≤0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)；
在[a，2]上，f'（x）≥0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)．所以f（x）_min=f（a）=0≥1，不成立．
（ⅲ）當(dāng)2＜a＜4時(shí)，在[0，a]上，f'（x）≥0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)；
在[a，2]上，f'（x）≤0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)．
所以f（0）=a²≥1且 f（2）=（2-a）²e²≥1，又2＜a＜4，可得$2+\frac{1}{e}≤a＜4$．
（ⅳ）當(dāng)a=2時(shí)，在[0，2]上，f'（x）≤0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)．
$f{（x）_{min}}=f（2）={（2-a）^2}{e^2}=0≥1$，不成立．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（-∞，-1]∪[2+\frac{1}{e}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值；分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．