Question

已知單調遞增的等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，其前n項和為S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式及S_n；
（Ⅱ）設b_n=

Sn

n

，求數(shù)列{

1

bn•bn+1

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），由已知結合a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列求得等差數(shù)列的公差，則等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式可求；
（Ⅱ）把等差數(shù)列的前n項和代入b_n=

Sn

n

，整理后代入

1

bn•bn+1

，然后利用裂項相消法求數(shù)列的和．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），
由a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，得
（2+d）²=2（2+3d），解得：d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
Sn=2n+

2n(n-1)

2

=n2+n；
（Ⅱ）由b_n=

Sn

n

=

n2+n

n

=n+1，
∴

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
則T_n=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

-

1

n+2

=

n+2-2

2(n+2)

=

n

2n+4

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的性質，訓練了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．