Question

已知直線l₁：mx-（m+1）y-2=0，l₂：x+2y+1=0，l₃：y=x-2是三條不同的直線，其中m∈R．
（Ⅰ）求證：直線l₁恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若l₂，l₃的交點(diǎn)為圓心，2

3

為半徑的圓C與直線l₁相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì),恒過(guò)定點(diǎn)的直線

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（Ⅰ）直線l₁：mx-（m+1）y-2=0，可化為m（x-y）-（y+2）=0，可得

x-y=0 y+2=0

，即可得出直線l₁恒過(guò)定點(diǎn)，及該點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求|AB|的最小值，即求圓心到直線的距離的最大值，此時(shí)CD⊥直線l₁．

解答： （Ⅰ）證明：直線l₁：mx-（m+1）y-2=0，可化為m（x-y）-（y+2）=0，
∴

x-y=0 y+2=0

，∴x=y=-2，
∴直線l₁恒過(guò)定點(diǎn)D（-2，-2）；
（Ⅱ）解：l₂：x+2y+1=0，l₃：y=x-2聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)C（1，-1），
求|AB|的最小值，即求圓心到直線的距離的最大值，此時(shí)CD⊥直線l₁，
∵|CD|=

(1+2)2+(-1+2)2

=

10

，
∴|AB|的最小值為2

12-10

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線l₁恒過(guò)定點(diǎn)，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ)．