Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，則不等式xf（x）＞0的解集為（ ）
A．（-1，0）∪（1，+∞）
B．（-1，0）∪（0，1）
C．（-∞，-1）∪（1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

【答案】分析：由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf （x），再由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由函數(shù)f（x）的奇偶性得到函數(shù)g（x）的奇偶性，由f（1）=0得g（1）=0、還有g(shù)（-1）=0，再通過奇偶性進行轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性求出不等式得解集．
解答：解：設(shè)g（x）=xf（x），則g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴g（x）=xf（x）是R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，
∵f（1）=0，
∴f（-1）=0；
即g（-1）=0，g（1）=0
∴xf（x）＞0化為g（x）＞0，
設(shè)x＞0，故不等式為g（x）＞g（1），即1＜x；
設(shè)x＜0，故不等式為g（x）＞g（-1），即-1＜x＜0．
故所求的解集為（-1，0）∪（1，+∞）
故選A．
點評：本題考查了由條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系對不等式進行轉(zhuǎn)化，注意函數(shù)值為零的自變量的取值．