設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),對(duì)任意的x>0,有f′(x)<0,f(-1)=0,則不等式
f(x)-f(-x)
x
>0
的解集是( 。
分析:先根據(jù)奇函數(shù)求出f(1)的值,再化簡(jiǎn)不等式,轉(zhuǎn)化為解
x>0
f(x)>0=f(1)
x<0
f(x)<0=f(-1)
,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
解答:解:∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(-1)=0,
f(x)-f(-x)
x
>0
,
∴f(1)=-f(-1),
2f(x)
x
>0

∴不等式
2f(x)
x
>0
的解集即為
x>0
f(x)>0=f(1)
x<0
f(x)<0=f(-1)
,
∵對(duì)任意的x>0,有f′(x)<0,f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,在(-∞,0)上單調(diào)遞增,
x>0
f(x)>0=f(1)
x<0
f(x)<0=f(-1)
的解集為x∈(-1,0)∪(0,1),
∴不等式
f(x)-f(-x)
x
>0
的解集是x∈(-1,0)∪(0,1).
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì),以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)考查了分析問(wèn)題的能力和轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.
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1
2
 )=2
,則f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)+f(3)+f(
7
2
)
=
-2
-2

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A、f(x)=-x2+6x-8B、f(x)=x2-10x+24C、f(x)=x2-6x+8D、f(x)=x2-6x+8+a

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