Question

4．設數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a_n+n+1，則通項a_n=（　�。�

• A． $\frac{{{n^2}+n+1}}{2}$
• B． $\frac{{{n^2}+n+2}}{2}$
• C． $\frac{{{n^2}+n+3}}{2}$
• D． $\frac{{{n^2}+n+4}}{2}$

Answer 1

分析 當n≥2時，利用a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）計算可知a_n=$\frac{{n}^{2}+n+4}{2}$（n≥2），進而驗證當n=1時是否成立即可．

解答 解：∵a₁=3，a_n+1=a_n+n+1，
∴a_n+1-a_n=n+1，
∴當n≥2時，a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）
=n+（n-1）+…+2
=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
∴a_n=$\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$+3=$\frac{{n}^{2}+n+4}{2}$（n≥2），
又∵a₁=3滿足上式，
∴a_n=$\frac{{n}^{2}+n+4}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查并項相加法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．