Question

20．定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）．
（1）求證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）若當 x∈（-1，0）時，有f（x）＞0，求證：f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)；
（3）f（1-a）+f（1-3a）＜0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）=0．令y=-x，可得f（-x）=-f（x），所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1，則有f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+（-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}-{x}_{2}）}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，所以f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
（3）利用單調性、奇偶性轉化為具體不等式即可得出結論．

解答 （1）證明：由x=y=0得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0，
任取x∈（-1，1），則-x∈（-1，1），f（x）+f（-x）=f（$\frac{x-x}{1-{x}^{2}}$）=f（0）=0．
∴f（x）+f（-x）=0，
即f（x）=-f（-x）．
∴f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．
（2）證明：設-1＜x₁＜x₂＜1，
∵對任意x，y屬于（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）．
函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+（-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}-{x}_{2}）}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴-1＜x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞0，0＜x₁x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
（3）解：f（1-a）+f（1-3a）＜0，即f（1-a）＜f（3a-1），
∵f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，
∴-1＜3a-1＜1-a＜1，
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷與應用，考查函數(shù)單調性的證明，賦值法是解題的關鍵．