過直角坐標(biāo)平面xOy中的拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為
π
4
的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求直線AB的方程;
(2)試用p表示A、B之間的距離;
(3)當(dāng)p=2時,求∠AOB的余弦值.
參考公式:(xA2+yA2)(xB2+yB2)=xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2].
(1)由題意知焦點(diǎn)F(
p
2
,0)

∴過拋物線焦點(diǎn)且傾斜角為
π
4
的直線方程是y=x-
p
2

即x-y-
p
2
=0,
(2)由
y2=2px
y=x-
p
2
x2-3px+
p2
4
=0
xA+xB=3p,xAxB=
p2
4

⇒|AB|=xA+xB+p=4p.
(3)由
y2=4x
y=x-1
⇒x2-6x+1=0⇒xA+xB=6,xAxB=1.cos∠AOB=
|AO|2+|BO|2-|AB|2
2|AO||BO|
=
xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2
2
(xA2+yA2)(xB2+yB2)
=
xAxB+yAyB
(xA2+yA2)(xB2+yB2)
=
2xAxB-
p
2
(xA+xB)+
p2
4
xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]
=-
3
41
41

∴∠AOB的大小是與p無關(guān)的定值.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若θ是任意實數(shù),則方程x2+4y2sinθ=1所表示的曲線一定不是( 。
A.圓B.雙曲線C.直線D.拋物線

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),M(-1,0),直線PA,PB相交于點(diǎn)P,且它們的斜率之積為-
3
4

(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)試判斷以PB為直徑的圓與圓x2+y2=4的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)直線PM與橢圓的另一個交點(diǎn)為N,求△OPN面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在以點(diǎn)O為圓心,AB為直徑的半圓中,D為半圓弧的中心,P為半圓弧上一點(diǎn),且AB=4,∠POB=30°,雙曲線C以A,B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P.
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求雙曲線C的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點(diǎn)E、F,若△OEF的面積不小于2
2
,求直線l的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,點(diǎn)A、B分別是橢圓
x2
36
+
y2
20
=1
的長軸的左、右端點(diǎn),F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),直線PF的方程為
3
x+y-3
2
=0
,且PA⊥PF.
(Ⅰ)求直線PA的方程;
(Ⅱ)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn),M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O,其中一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
,且與橢圓
x2
25
+
y2
13
=1
有共同的焦點(diǎn).
(1)求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)(普通中學(xué)學(xué)生做)設(shè)直線L:y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),試問:是否存在實數(shù)k,使得以弦AB為直徑的圓過點(diǎn)O?若存在,求出k的值,若不存在,請說明理由.
(重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做)設(shè)直線L:y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),C是直線L1:y=mx+6上任一點(diǎn)(A、B、C三點(diǎn)不共線)試問:是否存在實數(shù)k,使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形?若存在,求出k的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知三點(diǎn)P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0).
(Ⅰ)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P、F1、F2關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)分別為P′、F1′、F2′,求以F1′、F2′為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P′的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
3
2
,橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A1,A2,左、右頂點(diǎn)分別為B1,B2,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2.原點(diǎn)到直線A2B2的距離為
2
5
5

(1)求橢圓C的方程;
(2)過原點(diǎn)且斜率為
1
2
的直線l,與橢圓交于E,F(xiàn)點(diǎn),試判斷∠EF2F是銳角、直角還是鈍角,并寫出理由;
(3)P是橢圓上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線PA1,PA2,分別交x軸于點(diǎn)N,M,若直線OT與過點(diǎn)M,N的圓G相切,切點(diǎn)為T.證明:線段OT的長為定值,并求出該定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
2
+y2=1
的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,下頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn),⊙M是以PF2為直徑的圓.
(Ⅰ)當(dāng)⊙M的面積為
π
8
時,求PA所在直線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)⊙M與直線AF1相切時,求⊙M的方程;
(Ⅲ)求證:⊙M總與某個定圓相切.

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同步練習(xí)冊答案