Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，過CD的平面分別與PA，PB交于點E，F．

（1）求證：CD⊥平面PAC；
（2）求證：AB∥EF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴CD⊥PC，

∵CD⊥AC，PC∩AC=C，

∴CD⊥平面PAC．

（2）∵AB∥CD，過CD的平面分別與PA，PB交于點E，F，

且平面CDEF∩平面PAB=EF，

又CD平面PAB，AB平面PAB，

∴CD∥平面PAB，∴CD∥EF，

∴AB∥EF．

【解析】（1）證明直線垂直于平面，證這條直線與該平面內兩條不相交的直線垂直即可；（2）平行的傳遞性在空間幾何中仍成立.
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系和直線與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．