如圖，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．

(1)求證：PA上平面ABC；

(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形．

答案：略
解析：

證明：(1)在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于F，平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC，PA平面PAC，

∴DF⊥AP．

作DG⊥AB于G，同理可證DG⊥AP．

DG、DF都在平面ABC內(nèi)．

∴PA⊥平面ABC．

(2)連結(jié)BE并延長(zhǎng)交PC于H，

∵E是△PBC的垂心，

∴PC⊥BE．

又已知AE是平面PBC的垂線，

∴PC⊥BH，∴PC⊥面ABE．∴PC⊥AB，

又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，

∴AB⊥平面PAC，

∴AB⊥AC．即△ABC是直角三角形．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：047

如圖，已知平面PAB上平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證，△ABC是直角三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：047

如圖，已知平面PAB上平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證，△ABC是直角三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：047

如圖，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．

(1)求證：PA⊥平面ABC；

(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，E為點(diǎn)A在平面PBC內(nèi)的射影.

(1)求證：PA⊥平面ABC；

(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：平面PAB⊥平面PAC；

(3)當(dāng)平面PAB⊥平面PAC時(shí)，E為△PBC的垂心嗎？請(qǐng)說明理由.

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