Question

3．圖中的三個(gè)正方形塊中，著色的正方形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{a_n}，根據(jù)著色的規(guī)律，則a₄=585，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{{8}^{n}-1}{7}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)圖形求出前后兩圖的遞推關(guān)系，然后利用疊加法進(jìn)行求解，再利用等比數(shù)例，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：根據(jù)圖形可知  a₁=1，a₂=1+8，a₃=1+8+8×8，a₄=1+8+8×8+8×8×8=585，
不難發(fā)現(xiàn)：a_n+1-a_n=8ⁿ，
當(dāng)n≥2時(shí)，
則有：a_n-a_n-1=8^n-1，
a_n-1-a_n-2=8^n-2
…
…，
a₂-a₁=8¹，
等式疊加，
可得：a_n-a₁=8^n-1+8^n-2+…+8¹
∴a_n=a₁+（8^n-1+8^n-2+…+8¹）
a_n=1+$\frac{8（1-{8}^{n-1}）}{1-8}$=$\frac{{8}^{n}-1}{7}$
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，滿足條件，
故答案為：585，$\frac{{8}^{n}-1}{7}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等比數(shù)列的求和，數(shù)列中的疊加法求通項(xiàng)，以及識(shí)圖能力和運(yùn)算推理能力．