Question

18．若函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$在區(qū)間[1，e]上的最小值為$\frac{3}{2}$，則實(shí)數(shù)a的值為$\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，然后分a＜1，1≤a≤e，e＜a，情況討論原函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，并求得最小值，由最小值等于$\frac{3}{2}$求得a的值．

解答 解：由f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（x＞0），得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
f′（x）=0則x=a，若a＜1，則f（x）_min=f（1）=a=$\frac{3}{2}$，不滿(mǎn)足題意；
若a＞e，則f（x）_min=f（e）=1+$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，則a=$\frac{e}{2}$＜e，不合題意；
若e≥a≥1，則f（x）_min=f（a）=lna+1=$\frac{3}{2}$，則a=$\sqrt{e}$＜e，滿(mǎn)足題意；
故答案為：$\sqrt{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，著重考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中高檔題．