【題目】已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.
【答案】(1)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,k-1);單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+∞);(2)見解析.
【解析】
(1)求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)等于零,解方程,跟據(jù)f′(x)隨x的變化情況即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)(1),對k﹣1是否在區(qū)間[0,1]內(nèi)進(jìn)行討論,從而求得f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.
(1)由題意知f′(x)=(x-k+1)ex.
令f′(x)=0,得x=k-1.
f(x)與f′(x)隨x的變化情況如下:
所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,k-1);單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+∞).
(2)當(dāng)k-1≤0,即k≤1時,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=-k;
當(dāng)0<k-1<1,即1<k<2時,f(x)在[0,k-1]上單調(diào)遞減,在[k-1,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k-1)=-ek-1;
當(dāng)k-1≥1,即k≥2時,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,
所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.
綜上,當(dāng)k≤1時,f(x)在[0,1]上的最小值為
f(0)=-k;
當(dāng)1<k<2時,f(x)在[0,1]上的最小值為
f(k-1)=-ek-1;
當(dāng)k≥2時,f(x)在[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.
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【題目】如圖,設(shè)點為橢圓的右焦點,圓過且斜率為的直線交圓于兩點,交橢圓于點兩點,已知當(dāng)時,
(1)求橢圓的方程.
(2)當(dāng)時,求的面積.
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【題目】設(shè)函數(shù),(其中,,),在上既無最大值,也無最小值,且,則下列結(jié)論成立的是( )
A.若對任意,則
B.的圖象關(guān)于點中心對稱
C.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為
D.函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離是
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【題目】已知.
(1)若函數(shù)在單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍;
(2)令,若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作,其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊、、,求面積的公式,這與古希臘的海倫公式完全等價,其求法是“以小斜冥并大斜冥減中斜冥,余半之,自乘于上,以小斜冥乘大斜冥減上,余四約之,為實.一為從隅,開平方得積”若把以上這段文字寫出公式,即若,則.
(1)已知的三邊,,,且,求證:的面積.
(2)若,,求的面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,若函數(shù)恰有一個零點,求的取值范圍;
(2)當(dāng)時, 恒成立,求的取值范圍.
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【題目】如圖所示,四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面,若截面為平行四邊形.
(1)求證:AB∥平面EFGH
(2)若AB=4,CD=6,求四邊形EFGH周長的取值范圍.
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【題目】已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形,SA=SB= SC=2,AB=2,設(shè)S、A、B、C四點均在以O為球心的某個球面上。則點O到平面ABC的距離為________________。
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