Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-bx+c（b，c∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1，求b，c的值；
（2）若b=1，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有唯一零點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義及切點坐標，求b，c的值；
（2）f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，又$f（0）=c＜f（2）=\frac{2}{3}+c$，可知f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有唯一零點等價于f（1）=0或$\left\{{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（2）＞0}\end{array}}\right.$，即可求c的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=x²-b，所以f′（1）=1-b=2，得b=-1
又f（1）=2+1=3，所以$\frac{1}{3}-b+c=3$，得$c=\frac{5}{3}$（3分）
（2）因為b=1所以$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x+c$，f′（x）=x²-1．
當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，2）時，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增
又$f（0）=c＜f（2）=\frac{2}{3}+c$，可知f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有唯一零點等價于f（1）=0或$\left\{{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（2）＞0}\end{array}}\right.$，
得$c=\frac{2}{3}$或$-\frac{2}{3}＜c≤0$（9分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的單調(diào)性以及導數(shù)的幾何意義，考查分析問題解決問題的能力．