Question

1．已知將函數(shù)f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x（x∈R）的圖象沿x軸向左平移m個(gè)單位（m＞0）所得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{17}{8}$π對(duì)稱．
①求m的最小值；
②已知點(diǎn)P（α，$\frac{8}{3}$）是函數(shù)y=f（x）的圖象上的一點(diǎn)，求sin4α的值．

Answer 1

分析 ①利用倍角公式、和差公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出．
②把點(diǎn)P（α，$\frac{8}{3}$）代入f（x），化簡(jiǎn)整理利用倍角公式即可得出．

解答 解：①$f（x）=cos2x-sin2x+2=\sqrt{2}cos（2x+\frac{π}{4}）+2$，
將f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位得函數(shù)$y（x）=\sqrt{2}cos（2x+2m+\frac{π}{4}）+2$，
其對(duì)稱軸為$x=\frac{17}{8}π$，
∴$2×\frac{17}{8}π+2m+\frac{π}{4}=kπ（k∈Z），又m＞0$，
∴${m_{min}}=\frac{π}{4}$．
②∵$f（α）=\sqrt{2}cos（2α+\frac{π}{4}）+2=\frac{8}{3}$，
∴$cos（2α+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
令$t=2α+\frac{π}{4}$，則$cost=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，$2α=t-\frac{π}{4}$，$4α=2t-\frac{π}{2}$，
∴$sin4α=sin（2t-\frac{π}{2}）=-cos2t=1-2{cos^2}t=1-2×\frac{2}{9}=\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了倍角公式、和差公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平移變換，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．