Question

定義：F（x，y）=xy+lnx，x∈（0，+∞），y∈R，f（x）=F(x，

x

a

)（其中a≠0）．
（1）求 f（x） 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f(x)＜-

1

2

恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）記f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)任意的n∈N^*，在區(qū)間[1，f′（n）]上總存在k個(gè)正數(shù)a₁，a₂，a₃，…，a₄，使

k

i=1

f′(ai)≥2010成立，試求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間，可用導(dǎo)數(shù)法，先得到 f（x）的表達(dá)式，對(duì)其求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0求出增區(qū)間，進(jìn)而得出減區(qū)間，由于未知數(shù)的系數(shù)帶著字母，故應(yīng)對(duì)其符號(hào)進(jìn)行討論，本題得分成兩類(lèi)求單調(diào)區(qū)間．
（2）f(x)＜-

1

2

恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍，此題先求出函數(shù)f（x）的最大值，令其小于-

1

2

解不等式即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，由（1）知，a＞0時(shí)，f（x）增區(qū)間為（0，+∞）；故此時(shí)不可能恒小于-

1

2

，當(dāng)求出a＜0時(shí)的最大值令其小于-

1

2

即可解出，數(shù)a的取值范圍．
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+lnx，f′(x)=2x+

1

x

，先研究f′(x)=2x+

1

x

的單調(diào)性知其在N^*上是增函數(shù)，故在區(qū)間[1，f′（n）]是增函數(shù)，欲求k的最小值，求出∈[1，f'（1）]時(shí)多少個(gè)k個(gè)正數(shù)的和大于2010即可．

解答：解：（1）f(x)=

1

a

x2+lnx (x＞0)，則f′(x)=

2

a

x+

1

x

=

2x2+a

ax

①a＞0時(shí)，f'（x）＞0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）上遞增
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0，則x=

-2a

2

，（3分）
x∈(0，

-2a

2

)時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈(

-2a

2

，+∞)時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
綜上，a＞0時(shí)，f（x）增區(qū)間為（0，+∞）；
a＜0時(shí)，f（x）增區(qū)間為(0，

-2a

2

)，減區(qū)間為(

-2a

2

，+∞)．（5分）
（2）由（1）知a＞0時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞增，
且x=1時(shí)，f(1)=

1

a

＞0，則f(1)＞-

1

2

，∴f(x)＜-

1

2

不恒成立，故a＜0．（7分）
又f（x）的極大值即f（x）最大值f(

-2a

2

)=

1

a

(

-2a

2

)2+ln

-2a

2

∵f(x)＜-

1

2

恒成立，
只須[f(x)]max＜-

1

2

∴ln

-2a

2

＜0，即0＜

-2a

2

＜1∴-2＜a＜0（9分）
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+lnx，f′(x)=2x+

1

x

令g（x）=f'（x），則g′(x)=2-

1

x2

（11分）
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0
∴f′(x)=2x+

1

x

在[1，+∞）上是增函數(shù)
當(dāng)n∈N^*時(shí)，f′(n)=2n+

1

n

＞2

2

∴f'（x）在[1，f'（n）]上是增函數(shù)（13分）
當(dāng)n=1時(shí)，f'（1）=3∴當(dāng)a_i∈[1，f'（1）]，i=1，2，3，…，k時(shí)，
f′(ai)≤f′(f′(1))=f′(3)=

19

3

則為使得k最小，需f′(ai)=

19

3

，i=1，2，3，…，k
則

19

3

k≥2010，又k∈N^*，所以k_min=318，
當(dāng)n＞1時(shí)，f'（n）＞f'（1），∴當(dāng)a_i∈[1，f'（n）]，i=1，2，3，…，k時(shí)，
f′(ai)≤f′(f′(n))=f′(2n+

1

n

)則為使得k最小，
需f′(ai)=f′(2n+

1

n

)，i=1，2，3，…，k
則f′(2n+

1

n

)×k≥2010，又f′(2n+

1

n

)＞f′(3)=

19

3

又k∈N^*，所以k_min＜318
當(dāng)k＜318時(shí)，對(duì)n=1時(shí)，不存在k個(gè)正數(shù)，使得

k

i=1

f′(ai)≥2010，所以，k_min=318（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，是一個(gè)對(duì)邏輯推理能力要求較高的題目，尤其是第三問(wèn)，需要正確分析、判斷、轉(zhuǎn)化．