Question

已知：cotA+cotB+cotC=

3

，A+B+C=π．求證：A=B=C=

π

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)恒等式的證明

專(zhuān)題：推理和證明

分析：依題意得cotA+cotB-

cotAcotB-1

cotA+cotB

=

3

，令cotA+cotB=x，cotAcotB=y，可得y=x²-

3

x+1，cotA，cotB是t²-xt+x²-

3

x+1=0的兩根，利用韋達(dá)定理及一元二次方程有根的條件，可求得△=0，從而可得A=B=

π

3

，得到結(jié)論．

解答： 證明：因?yàn)閏otA+cotB+cotC=cotA+cotB-cot（A+B）=cotA+cotB-

cotAcotB-1

cotA+cotB

=

3

，
令cotA+cotB=x，cotAcotB=y，
則y=x²-

3

x+1，
cotA，cotB是t²-xt+x²-

3

x+1=0的兩根，
所以又△=x²-4x²+4

3

x-4=-（

3

x-2）²≥0得：（

3

x-2）²≤0，又（

3

x-2）²≥0，
所以，（

3

x-2）²=0，解得：x=

2 3

3

，y=

1

3

，此時(shí)cotA=cotB，
即cotA=cotB=

3

3

，cotAcotB=

1

3

，
所以A=B=

π

3

，
所以，此三角形為正三角形，即A=B=C=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)恒等式的證明，考查誘導(dǎo)公式與兩角和的余切公式的應(yīng)用，考查構(gòu)造函數(shù)思想與韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于難題．