Question

在四棱錐P-ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB=BC，∠ADc=60°（即：底面是一幅三角板拼成）
（1）若PA中點(diǎn)為E，求證：BE∥面PCD
（2）若PA=PB=PC=3，PD與面PAC成30°角，求此四棱錐的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AC，AD的中點(diǎn)分別為G，F(xiàn)，由已知條件推導(dǎo)出BF∥面PCD，EF∥面PCD，從而面BEF∥面PCD，由此能證明BE∥面PCD．
（2）由已知得PG⊥面ABCD，CD⊥面PAC，從而∠CPD=30°，進(jìn)而S△BCD=

9

4

+

3 3

2

，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答： （1）證明：設(shè)AC，AD的中點(diǎn)分別為G，F(xiàn)，
由已知得B，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，
∴BF∥CD，∵DC?平面PCD，BF?平面PCD，∴BF∥面PCD，
EF∥PD，∵PD?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥面PCD，
又BF∩EF=F，∴面BEF∥面PCD，
∵BE?平面BEF，∴BE∥面PCD．（6分）
（2）解：∵PA=PB=PC，∴PG⊥面ABCD，
則有PG⊥CD，
又AC⊥CD，PG∩AC=G，∴CD⊥面PAC，
∴PC是PD在面PAC內(nèi)的射影，
∵PD與面PAC成30°角，∴∠CPD=30°，（10分）
∵PA=PB=PC=3，∴CD=

3

，PG=

3 3

2

，AB=BC=

3 2

2

，
∴S△BCD=

9

4

+

3 3

2

，
∴V=

1

3

•(

9

4

+

3 3

2

)•

3 3

2

=

9

8

(2+

3

)．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．