Question

12．過點(diǎn)M（2，-2p）作拋物線x²=2py（p＞0）的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，則拋物線的方程為（　�。�

• A． x²=2y
• B． x²=4y
• C． x²=2y或x²=4y
• D． x²=3y或x²=2y

Answer 1

分析 設(shè)過點(diǎn)M的拋物線的切線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用方程的判別式等于0，再利用韋達(dá)定理，結(jié)合線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，可求拋物線的方程．

解答 解：設(shè)過點(diǎn)M的拋物線的切線方程為：y+2p=k（x-2）與拋物線的方程聯(lián)立消y得：x²-2pkx+4pk+4p²=0
此方程的判別式等于0，∴pk²-4k-4p=0
設(shè)切線的斜率分別為k₁，k₂，則k₁+k₂=$\frac{4}{p}$，
此時x=pk，∴y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$=2（k+p），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則12=y₁+y₂=2（k₁+k₂）+4p=$\frac{8}{p}$+4p，
∴p²-3p+2=0，
∴p=1或p=2，
∴所求拋物線的方程為x²=2y或x²=4y，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的切線，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中檔題．