Question

3．如果正整數(shù)m可以表示為x²-4y²（x，y∈Z），那么稱m為“好數(shù)”，問1，2，3，…，2014中“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為881．

Answer 1

分析 設(shè)x²-4y²=m=ab，k∈Z，（b＞a），則有（x+2y）（x-2y）=ab，得到b-a是4的倍數(shù)即可，分別對(duì)a為奇數(shù)、單偶數(shù)、雙偶數(shù)的情況討論，即可得到答案．

解答 解：設(shè)x²-4y²=m=ab，k∈Z，（b＞a），則有（x+2y）（x-2y）=ab．
所以$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=b}\\{x-2y=a}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{1}{2}$（a+b），y=$\frac{1}{4}$（b-a）．
可見，b-a是4的倍數(shù)即可． 分別對(duì)a為奇數(shù)、單偶數(shù)、雙偶數(shù)的情況討論．
（1）a為奇數(shù)2p+1時(shí)（p≥0），m=ab=（2p+1）[（2p+1）+4q]=4（p²+p+2pq+q）+1，即m是（4k+1）型（k≥0）．由2013=1+4（n-1），解得n=504；
（2）a為單偶數(shù)4p+2時(shí)（p≥0），m=ab=（4p+2）[（4p+2）+4q]=8（2p²+2p+2pq+q）+4，m是（8k+4）型，（k≥0）．由2012=4+8（n-1），解得n=252；
（3）a為雙偶數(shù)4p時(shí)（p≥0），m=ab=4p（4p+4q）=16p（p+q），m是16k型，（k≥0）． 由2000=16（n-1），解得n=125；
0到2014內(nèi)可表示為x²-4y²的自然數(shù)m的個(gè)數(shù)為504+252+125=881．
故答案為：882．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論以及數(shù)的整除的問題，屬于難題．