Question

15．已知拋物線y²=8x，P為其上一點(diǎn)，點(diǎn)N（5，0），點(diǎn)M滿足|$\overrightarrow{MN}$|=1，$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=0，則|$\overrightarrow{MP}$|的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 4
• C． $\sqrt{23}$
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{MN}$|=1，$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=0，可得M在以N（5，0）為圓心，1為半徑的圓上，$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{MP}$，即MP為圓的切線，由勾股定理和兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值，即可得到所求最小值．

解答 解：由|$\overrightarrow{MN}$|=1，$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
可得M在以N（5，0）為圓心，1為半徑的圓上，
$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{MP}$，即MP為圓的切線，
由勾股定理可得|MP|²=|NP|²-|MN|²
=|NP|²-1，
要求|MP|的最小值，只要求|NP|的最小值．
設(shè)P（$\frac{1}{8}$n²，n），則|NP|=$\sqrt{（\frac{1}{8}{n}^{2}-5）^{2}+{n}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{64}（{n}^{2}-8）^{2}+24}$，
當(dāng)n²=8即n=$±2\sqrt{2}$時(shí)，|NP|取得最小值，且為2$\sqrt{6}$，
即有|MP|取得最小值$\sqrt{23}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程的運(yùn)用，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系，以及向量的垂直和勾股定理的運(yùn)用，二次函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．