Question

12．下面有四個命題：①函數y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．②函數f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象關于直線x=$\frac{11}{12}$π對稱；③在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有三個公共點．④把函數y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$得到y(tǒng)=3sin2x的圖象．其中真命題的序號是①②④．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析 根據二倍角的余弦公式，平方差公式，同角三角形函數平方關系，化簡解析式，再由余弦函數的周期性，可以判斷①的真假；根據正弦函數的圖象和性質，可以判斷②③的真假；根據函數圖象的平移變換法則，可以判斷④的真假；進而得到答案．

解答 解：函數y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos^•x）•（sin²x-cos²x）=-cos2x的最小正周期是π，故①正確；
函數y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）圖象的對稱軸方程是x=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z，當k=1時，x=$\frac{11π}{12}$，故②正確；
在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有一個公共點，故③錯誤；
把函數y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$得到y(tǒng)=3sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=3sin2x的圖象，故④正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷及其應用，余弦型函數的周期性，終邊相同的角，正弦函數的性質，圖象的平移變換，及三角函數的單調性，熟練掌握上述基礎知識，并判斷出題目中4個命題的真假，是解答本題的關鍵．