Question

7．已知二項(xiàng)展開(kāi)式（2-x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N且n≥2）
（1）當(dāng)n=2013時(shí)，求a₀；
（2）當(dāng)n=18時(shí)，求a₁+2a₂+3a₃+…+18a₁₈．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=2013時(shí)，在所給的等式中，令x=0，可得a₀ 的值．
（2）在所給的等式中，兩邊同時(shí)x求導(dǎo)數(shù)，再令x=1，可得 a₁+2a₂+3a₃+…+18a₁₈ 的值．

解答 解：（1）∵二項(xiàng)展開(kāi)式（2-x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N且n≥2），
令x=0，可得a₀ =2ⁿ，
再根據(jù)n=2013，
可得a₀ =2²⁰¹³．
（2）當(dāng)n=18時(shí)，
∵（2-x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
即（2-x）¹⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nx¹⁸，
兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，可得-18（2-x）¹⁷=a₁ +2a₂x¹+3a₃x²+…+18a_nx¹⁷，
再令x=1，可得 a₁+2a₂+3a₃+…+18a₁₈ =-18．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．