Question

9．已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1時(shí)取得極值，且f（1）=-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并判斷f（1）和f（-1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；
（2）過點(diǎn)A（3，9）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由極值的定義可得x=±1是方程3ax²+2bx+c=0的兩根．運(yùn)用韋達(dá)定理，可得a，b，c的關(guān)系，結(jié)合條件f（1）=-1，可得方程，解方程可得a，b，c的值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式，求出單調(diào)區(qū)間，可得極值點(diǎn)；
（2）設(shè)出切點(diǎn)，求得切線的斜率和切線方程，代入點(diǎn)（3，9），解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得切線的斜率，即可得到所求切線方程．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵x=±1是函數(shù)的極值點(diǎn)，
∴x=±1是方程3ax²+2bx+c=0的兩根．
由根與系數(shù)的關(guān)系知$\left\{\begin{array}{l}{-1+1=-\frac{2b}{3a}}\\{-1×1=\frac{c}{3a}}\end{array}\right.$，
又f（1）=-1，∴a+b+c=-1．
解得a=$\frac{1}{2}$，b=0，c=-$\frac{3}{2}$．
即有f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$x，
∴f′（x）=$\frac{3}{2}$ x²-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$（x-1）（x+1）．
當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0．
∴x=-1時(shí)，f（x）有極大值；x=1時(shí)，f（x）有極小值．
（2）曲線方程為f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$x，點(diǎn)A（3，9）在曲線上．
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則切線的斜率為k=$\frac{3}{2}$（m²-1），
切線的方程為y-n=$\frac{3}{2}$（m²-1）（x-m），
代入（3，9）和n=$\frac{1}{2}$m³-$\frac{3}{2}$m，可得
9-$\frac{1}{2}$m³+$\frac{3}{2}$m=$\frac{3}{2}$（m²-1）（3-m），
化簡(jiǎn)可得2m³-9m²+27=0，
解得m=3或m=-$\frac{3}{2}$，
則切線方程為y-9=12（x-3）或y-9=$\frac{15}{8}$（x-3），
即為12x-y-27=0或15x-8y+27=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，注意在某點(diǎn)處的切線和過某點(diǎn)的切線的區(qū)別，屬于中檔題和易錯(cuò)題．