Question

12．如圖，在圓柱EF中，底面圓的半徑為2，母線長為6，$\widehat{AB}$和$\widehat{CD}$的長均為所在圓的周長的$\frac{1}{6}$，若沿著面ABCD將圓柱截開，試求所截得的體積較小的幾何體的體積V．

Answer 1

分析 連接FA，F(xiàn)B，EC，ED，EF，由$\widehat{AB}$和$\widehat{CD}$的長均為所在圓的周長的$\frac{1}{6}$得底面三角形為等邊三角形，故所求幾何體體積等于圓柱體積的$\frac{1}{6}$減去三棱柱的體積．

解答 解：如圖所示，連接FA，F(xiàn)B，EC，ED，EF．
∵$\widehat{AB}$和$\widehat{CD}$的長均為所在圓的周長的$\frac{1}{6}$，
∴∠AEB=∠CED=$\frac{π}{3}$，∵AF=BF=2，
∴△ABF，△CDE是等邊三角形，
∴S_△ABF=$\frac{\sqrt{3}}{4}•{2}^{2}$=$\sqrt{3}$．
∴V_{棱柱ABF-DCE}=S_△ABF•EF=6$\sqrt{3}$．
V_圓柱EF=π•AF²•EF=24π，
∴V=$\frac{1}{6}$V_圓柱EF-V_{棱柱ABF-DCE}=4π-6$\sqrt{3}$

點評 本題考查了空間幾何體的體積求法，使用作差法求體積是常用的求不規(guī)則幾何體體積的一種方法．