Question

1．已知一個(gè)平放的各棱長(zhǎng)均為 4 的三棱錐內(nèi)有一個(gè)小球，現(xiàn)從該三棱錐頂端向錐內(nèi)注水，小球慢慢上�。�當(dāng)注入的水的體積是該三棱錐體積的$\frac{7}{8}$時(shí)，小球恰與該三棱錐各側(cè)面及水面相切（小球完全浮在水面上方），則小球的表面積等于（　�。�

• A． $\frac{7π}{6}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 先求出沒(méi)有水的部分的體積是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，再求出棱長(zhǎng)為2，可得小球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：由題意，沒(méi)有水的部分的體積是正四面體體積的$\frac{1}{8}$，
∵正四面體的各棱長(zhǎng)均為4，
∴正四面體體積為$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×\sqrt{16-\frac{16}{3}}$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
∴沒(méi)有水的部分的體積是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
設(shè)其棱長(zhǎng)為a，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴a=2，
設(shè)小球的半徑為r，則4×$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$r=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴球的表面積S=$4π•\frac{1}{6}=\frac{2π}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確求出半徑是關(guān)鍵．