Question

【題目】已知在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為p2= ，定點A（0，﹣ ），F(xiàn)1 ， F2是圓錐曲線C的左、右焦點，直線l經(jīng)過點F1且平行于直線AF2 ．
（1）求圓錐曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；
（2）若直線l與圓錐曲線C交于M，N兩點，求|F1M||F1N|．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵p2= ，∴3ρ2+ρ2sin2θ=12．

∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2+3y2+y2=12，即 ．

∴F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），

∴直線AF2的斜率 = = ．∴直線l的傾斜角為 ．

在l上任取一點P，設(shè)有向線段F1P的長為t，

則直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）．

（2）解：將l的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得 ，即5t2﹣4t﹣12=0．

設(shè)M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2=﹣ ．

∴|F1M||F1N|=|t1||t2|=|t1t2|=

【解析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)焦點坐標(biāo)計算直線l的傾斜角，令F1到直線l上一點P的有向線段t為參數(shù)寫出l的參數(shù)方程；，（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得出關(guān)于t的方程，利用參數(shù)得幾何意義計算|F1M||F1N|．