Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，．

（I）證明：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

（II）對于給定的閉區(qū)間，試說明存在實(shí)數(shù)    ，當(dāng)時(shí)，在閉區(qū)間上是減函數(shù)；

（III）證明：．

 

Answer 1

【答案】

（I）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)

（II）取與中較大者記為k，易知當(dāng)t＞k時(shí)，＜0在閉區(qū)[a,b]成立，即在閉區(qū)間[a,b]上為減函數(shù).

（III）

【解析】證明：由題設(shè)得

又由≥,且t＜得t＜，即

＞0.

由此可知，為R上的增函數(shù).

(Ⅱ)證法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811102676562368/SYS201205181111386718700057_DA.files/image006.png">＜0是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實(shí)數(shù)k，使得t

＜0，即t＞

在閉區(qū)間[a,b]上成立即可.

因此y=在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，故在閉區(qū)[a,b]上有最大值，設(shè)其為k，t＞k時(shí), ＜0在閉區(qū)間[a,b]上恒成立，即在閉區(qū)間[a,b]上為減函數(shù).

證法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811102676562368/SYS201205181111386718700057_DA.files/image006.png">＜0是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實(shí)數(shù)k，使得t＞k時(shí)

＜0，

在閉區(qū)間[a,b]上成立即可.

令則＜0()當(dāng)且僅當(dāng)

＜0().

而上式成立只需

即

成立.取與中較大者記為k，易知當(dāng)t＞k時(shí)，＜0在閉區(qū)[a,b]成立，即在閉區(qū)間[a,b]上為減函數(shù).

(Ⅲ)證法一：設(shè)

易得

≥.

令則易知當(dāng)x＞0時(shí), ＞0;當(dāng)x＜0, ＜0.故當(dāng)x=0時(shí)，取最小值，所以

≥，

于是對任意x、t，有≥，即≥.

證法二：設(shè)=

≥，當(dāng)且僅當(dāng)

≥0

只需證明

≤0，即

≥1

以下同證法一.

證法三：設(shè)=，則

易得當(dāng)t＞時(shí), ＞0; t＜時(shí), ＜0，故當(dāng)t=取最小值即

≥

以下同證法一.

證法四:

設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，易知點(diǎn)B在直線y=x上，令點(diǎn)A到直線y=離為d，則

≥

以下同證法一.