Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求f（x）的對稱軸及對稱中心．

Answer 1

分析 （1）（2）（3）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的對稱軸及對稱中心．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$．
化簡可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x$+\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$，
（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$$2x+\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}]，k∈Z$；
（3）令$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z
可得：$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
∴對稱軸$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
令$2x+\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z．
得：x=$-\frac{π}{12}+\frac{1}{2}kπ$
∴對稱中心$（-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，0），k∈Z$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．