Question

若i是虛數(shù)單位，則i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³=

1006+1007i

．

Answer 1

分析：由虛數(shù)單位的周期性可得得i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，其中n為自然數(shù)，S=i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³，①進(jìn)而可得：iS=i²+2i³+3i⁴+…+2013i²⁰¹⁴，②，兩式相減，由等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可．

解答：解：由虛數(shù)單位i性質(zhì)可得i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=1，其中n為自然數(shù)，
設(shè)S=i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³，①
兩邊同乘以i可得：iS=i²+2i³+3i⁴+…+2013i²⁰¹⁴，②
①-②可得（1-i）S=i+i²+i³+…+i²⁰¹³-2013i²⁰¹⁴
=

i(1-i2013)

1-i

-2013i²⁰¹⁴=

i(1-i)

1-i

-2013×（-1）=2013+i，
故S=

2013+i

1-i

=

(2013+i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=

2013-1+2014i

2

=1006+1007i
故答案為：1006+1007i

點(diǎn)評(píng)：本題考查虛數(shù)單位及其性質(zhì)，涉及數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算，屬中檔題．