Question

若i是虛數(shù)單位，則i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³=    ．

Answer 1

【答案】分析：由虛數(shù)單位的周期性可得得i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，其中n為自然數(shù)，S=i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³，①進而可得：iS=i²+2i³+3i⁴+…+2013i²⁰¹⁴，②，兩式相減，由等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算化簡即可．
解答：解：由虛數(shù)單位i性質(zhì)可得i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=1，其中n為自然數(shù)，
設(shè)S=i+2i²+3i³+…+2013i²⁰¹³，①
兩邊同乘以i可得：iS=i²+2i³+3i⁴+…+2013i²⁰¹⁴，②
①-②可得（1-i）S=i+i²+i³+…+i²⁰¹³-2013i²⁰¹⁴
=-2013i²⁰¹⁴=-2013×（-1）=2013+i，
故S====1006+1007i
故答案為：1006+1007i
點評：本題考查虛數(shù)單位及其性質(zhì)，涉及數(shù)列的錯位相減法求和以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算，屬中檔題．