Question

13．如圖，函數(shù)y=2$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤$\frac{π}{2}$）的圖象與y軸交于點（0，$\sqrt{6}$），周期是π．
（1）求函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)圖象的對稱軸方程和對稱中心；
（2）已知點A（$\frac{π}{2}$，0），點P是該函數(shù)圖象上一點，點Q（x₀，y₀）是PA的中點，當(dāng)y₀=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₀∈[$\frac{π}{2}$，π]時，求x₀的值．

Answer 1

分析 （1）由圖象與y軸交于點（0，$\sqrt{6}$），周期是π．可得ω和φ的值，從而可得函數(shù)解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)圖象的對稱軸方程和對稱中心
（2）點Q（x₀，y₀）是PA的中點，點A（$\frac{π}{2}$，0），利用中點坐標(biāo)求出P的坐標(biāo)，點P是該函數(shù)圖象上一點，代入函數(shù)解析式，化簡，根據(jù)y₀=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x₀∈[$\frac{π}{2}$，π]，求解x₀的值．

解答 解：（1）由題意，周期是π，即$ω=\frac{2π}{π}=2$．
由圖象與y軸交于點（0，$\sqrt{6}$），∴$\sqrt{6}$=2$\sqrt{3}$cosφ，
可得cosφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤φ≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$．
故得函數(shù)解析式f（x）=$2\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）．
由2x+$\frac{π}{4}$=kπ，可得對稱軸方程為：x=$\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{8}$，（k∈Z）
由2x+$\frac{π}{4}$=kπ$+\frac{π}{2}$，可得對稱中心為（$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{8}$，0），（k∈Z）
（2）由題意：點Q（x₀，y₀）是PA的中點，點A（$\frac{π}{2}$，0），
∴P的坐標(biāo)為（$2{x}_{0}-\frac{π}{2}$，2y₀），
由y₀=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，可得：P的坐標(biāo)為（$2{x}_{0}-\frac{π}{2}$，$\sqrt{6}$），
又∵點P是該函數(shù)圖象上一點，
∴$\sqrt{6}$=2$\sqrt{3}$cos[2×$（2{x}_{0}-\frac{π}{2}）+\frac{π}{4}$]，
整理可得：cos（$4{x}_{0}-\frac{3π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵x₀∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴$4{x}_{0}-\frac{3π}{4}$∈[$\frac{5π}{4}，\frac{13π}{4}$]，
故有：$4{x}_{0}-\frac{3π}{4}$=$\frac{7π}{4}$或$4{x}_{0}-\frac{3π}{4}$=$\frac{9π}{4}$，
解得：x₀=$\frac{5π}{8}$或${x}_{0}=\frac{3π}{4}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系．