Question

11．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=C（C為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)y=f（x）在D上的均值為C，給出下列四個(gè)函數(shù)：
①y=x³
②y=4sinx
③y=lnx
④y=2^x
則在其定義域上均值為2的所有函數(shù)是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①③
• D． ①③④

Answer 1

分析 對(duì)于函數(shù)①y=x³，取任意的x₁∈R，x₂=$\root{3}{4-{{x}_{1}}^{3}}$，可以得到唯一的x₂∈D滿足條件；對(duì)于函數(shù)②y=4sinx，y=4sinx是R上的周期函數(shù)，存在無(wú)窮個(gè)的x₂∈D，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=2成立；對(duì)于函數(shù)③y=lnx，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，存在唯一的x₂∈D，使 $\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=2成立；對(duì)于函數(shù)④y=2^x，當(dāng)x₁=3，f（x₁）=8．要使 $\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=2成立，則f（x₂）=-4，不成立．

解答 解：對(duì)于函數(shù)①y=x³，取任意的x₁∈R，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}}{2}$=2，x₂=$\root{3}{4-{{x}_{1}}^{3}}$，
可以得到唯一的x₂∈D．滿足條件，故①成立；
對(duì)于函數(shù)②y=4sinx，因?yàn)閥=4sinx是R上的周期函數(shù)，
存在無(wú)窮個(gè)的x₂∈D，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=2成立．不滿足條件，故②不成立；
對(duì)于函數(shù)③y=lnx，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，
必存在唯一的x₂∈D，使 $\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=2成立．故③成立；
對(duì)于函數(shù)④y=2^x定義域?yàn)镽，值域?yàn)閥＞0．對(duì)于x₁=3，f（x₁）=8．
要使 $\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=2成立，則f（x₂）=-4，不成立，故④不成立．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查均值為2的函數(shù)的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．