Question

17．已知函數(shù)f（x）=2x³-3x，若過(guò)點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，則t的取值范圍是（-3，-1）．

Answer 1

分析 設(shè)出切點(diǎn)，由斜率的兩種表示得到等式，化簡(jiǎn)得三次函數(shù)，將題目條件化為函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=6x²-3，
設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，t）的直線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（x，2x³-3x），
則$\frac{2{x}^{3}-3x-t}{x-1}$=6x²-3，
化簡(jiǎn)得，4x³-6x²+3+t=0，
令g（x）=4x³-6x²+3+t，
則令g′（x）=12x（x-1）=0，
則x=0，x=1．
g（0）=3+t，g（1）=t+1，
又∵過(guò)點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，
則（t+3）（t+1）＜0，
解得，-3＜t＜-1．
故答案為：（-3，-1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．