Question

【題目】已知橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、，曲線(xiàn)是以、兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，焦距為的雙曲線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)在第一象限且在曲線(xiàn)上，直線(xiàn)與橢圓相交于另一點(diǎn).

（1）求曲線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，求證為一定值；

（3）設(shè)△與△（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為與，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，；（3）.

【解析】

（1）由橢圓方程可得，由焦距得到，根據(jù)求得，進(jìn)而得到雙曲線(xiàn)方程；

（2）設(shè)，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可求得；同理可求得，相乘可求得定值；

（3）設(shè)，，利用向量數(shù)量積可求得；利用點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上且位于第一象限可求得的范圍；將表示為，根據(jù)對(duì)號(hào)函數(shù)的性質(zhì)可求得最值，進(jìn)而得到取值范圍.

（1）由橢圓方程可得：，，即雙曲線(xiàn)中，

又雙曲線(xiàn)焦距為

曲線(xiàn)的方程為：

（2）由題意可知，直線(xiàn)斜率存在，則可設(shè)

聯(lián)立得：

，

橢圓與直線(xiàn)聯(lián)立得：可得：

，即為定值

（3）由（2）可設(shè)，

則，

又點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上 ，解得：

又位于第一象限

，

令

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，

的取值范圍為