Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₄|a_n|，求數(shù)列{

1

bn•bn+2

}前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出a1=-

1

4

，a_n+1-a_n=5a_n+1，由此能求出an=(-

1

4

)n．
（Ⅱ）由bn=log4|(-

1

4

)n|=-n，得

1

bnbn+2

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{

1

bn•bn+2

}前n項和T_n．

解答： （Ⅰ）解：當n=1時，a₁=5S₁+1，解得a1=-

1

4

．…（2分）
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，…（4分）
∴

an+1

an

=-

1

4

，∴數(shù)列{a_n}是首項為a1=-

1

4

，公比為q=-

1

4

的等比數(shù)列，
∴an=(-

1

4

)n．…（6分）
（Ⅱ）解：bn=log4|(-

1

4

)n|=-n，…（8分）
∴

1

bnbn+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），…（10分）
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

2n+3

(n+1)(n+2)

．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．