Question

15．如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CA=CC₁=2CB，則直線BC₁與直線AB₁E夾角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)CA=2，由條件及建立的空間直角坐標系，可求出點A，B，B₁，C₁幾點的坐標，從而得到向量$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$的坐標，由向量夾角余弦的坐標公式即可求出$cos＜\overrightarrow{B{C}_{1}}，\overrightarrow{A{B}_{1}}＞$，從而便得出直線BC₁與直線AB₁夾角的余弦值．

解答 解：設(shè)CA=2，根據(jù)條件可求以下幾點坐標：
A（2，0，0），B₁（0，2，1），B（0，0，1），C₁（0，2，0）；
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}=（0，2，-1），\overrightarrow{A{B}_{1}}=（-2，2，1）$；
∴cos$＜\overrightarrow{B{C}_{1}}，\overrightarrow{A{B}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{A{B}_{1}}|}=\frac{3}{\sqrt{5}•3}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴直線BC₁與直線AB₁夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點評 考查利用空間向量解決異面直線所成角問題的方法，能求空間點的坐標，由點的坐標求向量的坐標，向量夾角余弦的坐標公式，清楚兩異面直線的方向向量的夾角和這兩異面直線所成角的關(guān)系．