Question

3．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，4sin²$\frac{B+C}{2}$-cos2A=$\frac{7}{2}$．
（1）求A的度數(shù)；
（2）若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}$=-12，求△ABC的面積；
（3）若b+c=1，求三角形周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到關(guān)于cosA的一元二次方程，解出cosA，根據(jù)角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A即可；
（2）利用向量的數(shù)量積求出bc=24，利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式求出a的取值范圍即可求出周長(zhǎng)的取值范圍．

解答 解：（1）由4sin²$\frac{B+C}{2}$-cos2A=$\frac{7}{2}$得：2[1-cos（B+C）]-cos2A=$\frac{7}{2}$，
即4cos²A-4cosA+1=0，
則（2cosA-1）²=0，
解得cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}$=-12，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=12，
即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=$\frac{1}{2}$bc=12，
∴bc=24，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×24×\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$．
（3）∵b+c=1，
∴1=b+c$≥2\sqrt{bc}$，
即0＜bc$≤\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=$\frac{1}{2}$取等號(hào)，
則由余弦定理得a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=1-3bc，
∵0＜bc$≤\frac{1}{4}$，∴-$\frac{1}{4}$≤-bc＜0，
∴-$\frac{3}{4}$≤-3bc＜0，$\frac{1}{4}$≤1-3bc＜1，
即$\frac{1}{4}$≤a²＜1，則$\frac{1}{2}$≤a＜1，
則$\frac{1}{2}$+1≤a+b+c＜1+1，
即$\frac{3}{2}$≤a+b+c＜2，
即三角形的周長(zhǎng)的取值范圍是[$\frac{3}{2}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，以及三角形面積公式的應(yīng)用，結(jié)合余弦定理以及基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多．