Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1，當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出導(dǎo)數(shù)，并分解因式，討論當(dāng)a=

1

2

時(shí)，0＜a＜

1

2

時(shí)，兩根的大小，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意函數(shù)的定義域．

解答： 解：f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

=-

ax2-x+(1-a)

x2

=-

(x-1)(ax-1+a)

x2

（x＞0），
由于0＜a≤

1

2

，
則當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f′（x）=-

(x-1)2

2x2

＜0，f（x）在x＞0上遞減；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，1＜

1-a

a

，
由f′（x）＞0解得，1＜x＜

1-a

a

，
由f′（x）＜0解得，0＜x＜1或x＞

1-a

a

，
綜上可得，當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）在（0，+∞）上遞減；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，f（x）在（1，

1-a

a

）上遞增，在（0，1），（

1-a

a

，+∞）上遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．