Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點(diǎn)A（1，m），點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求拋物線C的方程及m的值．
（2）是否存在斜率為-2的直線l，使得l與C有公共點(diǎn)，且l與直線y=-2x的距離為

5

？若存在，求出l的方程：若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線的定義，可求拋物線C的方程及m的值．
（2）設(shè)方程為y=-2x+b，利用l與直線y=-2x的距離為

5

，求出b=±5，再進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答： 解：（1）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）過點(diǎn)A（1，m），點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為2，
∴1+

p

2

=2，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x，m=±2；
（2）設(shè)方程為y=-2x+b，則
∵l與直線y=-2x的距離為

5

，
∴

|b|

5

=

5

，
∴b=±5，
∴y=-2x±5，
y=-2x+5與y²=4x聯(lián)立可得y²+2y-10=0，此時△=4+40＞0，滿足題意；
y=-2x-5與y²=4x聯(lián)立可得y²+2y+10=0，此時△=4-40＜0，不滿足題意．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．