Question

4．已知曲線Γ為函數(shù)f（x）=3x-x³的圖象，過點(diǎn)A（2，2）作曲線Γ的切線，可能的切線條數(shù)是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 設(shè)出切點(diǎn)P（m，3m-m³），利用導(dǎo)數(shù)求出過切點(diǎn)的切線方程，代入M點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用導(dǎo)數(shù)求解關(guān)于m的方程的解的個(gè)數(shù)，則答案可求．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)為P（m，3m-m³），
由f（x）=3x-x³，得f′（x）=3-3x²，
∴切線的斜率k=3-3m²，
得曲線過P點(diǎn)的切線方程為y-3m+m³=（3-3m²）（x-m），
即y=3（1-m²）x+2m³，
∵切線過點(diǎn)M（2，2），
故2=6-6m²+2m³，
即2m³-6m²+4=0，
令h（m）=2m³-6m²+4，
則h′（m）=6m²-12m，
由h′（m）=0，解得m=0或m=2，
當(dāng)m∈（-∞，0），（2，+∞）時(shí)，h′（m）＞0，
當(dāng)m∈（0，2）時(shí)，h′（m）＜0．
∴h（m）的極大值、極小值分別為h（0）=5＞0，
h（2）=-3＜0，
故其圖象與x軸交點(diǎn)3個(gè)，
也就是切線條數(shù)為3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．