Question

16．如圖，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，E為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，當(dāng)E從D運(yùn)動(dòng)到C，則D在平面ABC上的射影K所形成軌跡的長(zhǎng)度為（　　）
 

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)圖形的翻折過(guò)程中變與不變的量和位置關(guān)系知，若連接D'K，則∠D'KA=90°，得到K點(diǎn)的軌跡是以AD'為直徑的圓上一段弧，根據(jù)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)得到圓的半徑，求得此弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式求出軌跡長(zhǎng)度．

解答 解：由題意，將△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AE，K為垂足是D在平面ABC上的射影，由翻折的特征知，連接D'K，
則∠D'KA=90°，故K點(diǎn)的軌跡是以AD'為直徑的圓上一段弧，根據(jù)長(zhǎng)方形知圓半徑是$\frac{1}{2}$，
如圖當(dāng)E與C重合時(shí)，AK=$\frac{1}{2}$，
取O為AD′的中點(diǎn)，得到△OAK是正三角形．
故∠K0A=$\frac{π}{3}$，∴∠K0D'=$\frac{2π}{3}$，
其所對(duì)的弧長(zhǎng)為$\frac{1}{2}×\frac{2π}{3}=\frac{π}{3}$；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題目，解題的關(guān)鍵是由題意得出點(diǎn)K的軌跡是圓上的一段弧，翻折問(wèn)題中要注意位置關(guān)系與長(zhǎng)度等數(shù)量的變與不變．