【題目】（卷號）2209028400021504

（題號）2209073114537984

（題文）

已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）對于曲線上的不同兩點、，如果存在曲線上的點，且，使得曲線在點處的切線，則稱直線存在“伴隨切線”. 特別地，當時，又稱直線存在“中值伴隨切線”.試問：在函數(shù)的圖象上是否存在兩點、，使得直線存在“中值伴隨切線”？若存在，求出、的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）不存在

【解析】

（Ⅰ）求導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式得結(jié)果，（Ⅱ）先求導數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)零點情況分類討論，最后根據(jù)導函數(shù)符號確定單調(diào)性，（Ⅲ）根據(jù)定義建立方程，轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)零點問題，利用導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定零點滿足條件，解得結(jié)果.

（Ⅰ）當時，

（Ⅱ）

所以當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，

當時，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，

（Ⅲ）由題意得，

所以

因為，

所以化簡得

令，

則

因此，即，也即不成立，

所以不存在兩點、，使得直線存在 “中值伴隨切線”.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】設(shè)橢圓的離心率，拋物線的焦點恰好是橢圓的右焦點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點作兩條斜率都存在的直線，設(shè)與橢圓交于兩點，與橢圓交于兩點，若是與的等比中項，求的最小值．

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【題目】已知， ， .

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）記，設(shè)， 為函數(shù)圖象上的兩點，且.

（i）當時，若在， 處的切線相互垂直，求證： ；

（ii）若在點， 處的切線重合，求的取值范圍.

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【題目】已知是圓上的一個動點，過點作兩條直線，它們與橢圓都只有一個公共點，且分別交圓于點.

（Ⅰ）若，求直線的方程；

（Ⅱ）①求證：對于圓上的任意點，都有成立；

②求面積的取值范圍.

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【題目】如圖，三棱柱中，平面，，，，以，為鄰邊作平行四邊形，連接和.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）線段上是否存在點，使平面與平面垂直？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.

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【題目】某城市為鼓勵人們綠色出行，乘坐地鐵，地鐵公司決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實施分段優(yōu)惠政策，不超過站的地鐵票價如下表：

乘坐站數(shù)

票價（元）

現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過站.甲、乙乘坐不超過站的概率分別為， ；甲、乙乘坐超過站的概率分別為， .

（1）求甲、乙兩人付費相同的概率；

（2）設(shè)甲、乙兩人所付費用之和為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望.

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【題目】已知函數(shù)， ．

（1）設(shè)．

①若函數(shù)在處的切線過點，求的值；

②當時，若函數(shù)在上沒有零點，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，且（），求證：當時， ．

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【題目】已知直線與橢圓:交于兩點.

（1）若線段的中點為,求直線的方程;

（2）記直線與軸交于點,是否存在點,使得始終為定值?若存在,求點的坐標,并求出該定值;若不存在,請說明理由.

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【題目】如圖，平面平面，四邊形為菱形，四邊形為矩形， ， 分別是， 的中點， ， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若三棱錐的體積為，求的長.

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